Question

如图，△AOB中，OA=OB，以O为圆心的圆经过△AOB的边AB的中点C，与OB相交于点D．
（1）求证：⊙O与AB相切．
（2）若⊙O的半径为1，OD=BD，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）由OA=OB，AC=BC，即可推出OC⊥AB，即AB是⊙O的切线；
（2）根据三角函数公式及勾股定理求得∠A=30°，OC=2，又因为OA=OB，从而得出∠AOB=120°，由三角形面积及扇形面积可求出阴影部分面积．

解答：（1）证明：连接OC．
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线．

（2）解：过B点作BF⊥AO，交AO的延长线于F点．
∵BF⊥AF，OF=OD，DO=BD，
∴∠FBO=30°，
∴∠FOB=60°，
∵AO=BO，
∴∠A=∠ABO=30°，
∴由题意有AB=2BF，
∵BF=

3

∴AB=2

3

，
∵OA=OB，且∠A=30°，
∴∠AOB=120°，
∴S_阴影=

1

2

（S_△OAB-S_扇形0ED）=

1

2

（2

3

×1÷2-

120π×12

360

）=

3

2

-

π

6

．

点评：此题考查了切线的判定以及扇形的面积求法，学生灵活的对切线的判定弧长公式及解直角三角形的综合运用是解题关键．