Question

设a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程x2+2

b

x+2c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为0．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）若a，b为方程x²+mx-3m=0的两根，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由方程x²+2

b

x+2c-a=0有两个相等的实数根，根据判别式可得（2

b

）²-4（2c-a）=0，即可求得b+a=2c，又由方程3cx+2b=2a的根为0，可得a=b，则可证得a=b=c，即可得△ABC为等边三角形；
（2）由（1）a=b，可得判别式m²-4×（-3m）=0，即可求得m的值，又由a，b，c是△ABC的三边长，可得m≠0，即可得m=-12．

解答：（1）证明：∵方程x²+2

b

x+2c-a=0有两个相等的实数根，
∴（2

b

）²-4（2c-a）=0，（1分）
∴b+a=2c，（1分）
∵方程3cx+2b=2a的根为0，
∴b=a，（1分）
∴b=a=c，
∴△ABC为等边三角形；                （1分）

（2）解：∵a，b为方程 x²+mx-3m=0的两根，
又∵由（1）a=b，（1分）
∴m²-4×（-3m）=0，（2分）
∴m₁=0，m₂=-12．（1分）
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a＞0，
∴m=-12．

点评：此题考查了根的判别式、方程的解、等边三角形的判定以及一元二次方程的求解方法．此题难度适中，解题的关键是注意一元二次方程根的判别式的应用．