Question

“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一？”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别3和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：

x+y= 4 3 xy=1

，
消去y化简得：3x²-4x+3=0
∵b²-4ac=16-36=-20＜0
∴故方程______．∴满足要求的矩形B______（填不存在或存在）．
若已知矩形A的边长分别为10和1，请仿照小明的方法研究是否存在满足要求的矩形B．若存在，求矩形B的长和宽，若不存在，说明理由．
（2）如果矩形A的边长为a和b，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？并求此时矩形B的长．

Answer 1

（1）无解；不存在．…（2分）；
设长是x，宽是y，

x+y= 11 3 xy= 10 3

，

x=2 y= 5 3

，
存在矩形B，它的长为2，宽为

5

3

…（6分）
（2）设此时矩形B的长是x，宽是y，

x+y= a+b 3 xy= ab 3

，
当a²+b²≥10ab时，矩形B存在，…（11分）
此时它的长

a+b+ a2+b2-10ab

6

，…（13分）