题目内容
如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,
)．
1.求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
2.设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在直线CD的上方，y轴及y轴的右侧的平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的点G的坐标；
3.如图，抛物线的对称轴与x轴的交点M，过点M作一条直线交∠ADB于T,N两点，①当∠DNT=90°时，直接写出
的值；
②当直线TN绕点M旋转时，
试说明: △DNT的面积S△DNT=
;
并猜想 :的值是否是定值?说明理由.
1.y=
，顶点D的坐标(1, 
)
2.
3.是定值
【解析】解：抛物线与X轴交于点A(-2,0),B(4,0),与Y轴交于点C(0，
），
故可设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4) （设一般式也可）
则=a(0+2)(0-4)
∴a=
抛物线的解析式为：y= (x+2)(x-4)，即y=
化为顶点式：y=
∴顶点D的坐标(1, )
2分
(2) 
6分
（3）①
7分
② i．是定值
理由是:作NH⊥DT于点H，
又∵抛物线是轴对称图形,DM是对称轴，
∴DA=DB，
∵tan∠DAB=
∴∠DAB=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴S△DNT=
DT·NH= DT·DN·sin60°=
DT·DN
9分
ii.方法1：（面积法）
作NH⊥DT于H， MM1⊥DT于M1，MM2⊥DN于M2，
∴NH= DN·sin60°=
DN,
又∵△DAB是等边三角形，且DM⊥AB于M，
∴∠TDM=∠NDM=30°,
∴MM1 = MM2= DM·sin30°=
DM,
∵S△DNT= DT·DN
∵S△DTM+ S△DNM = DT·MM1+ DN·MM2
= DT·DMsin30°+ DN·DMsin30
=
∵S△DNT=S△DTM+ S△DNM
∴ DT·DN=
∴DT·DN=3
∴
12分
方法2：（相似三角形的知识）
作NN1⊥DM于N1，TT1⊥DM于T1，
又∵△DAB是等边三角形，且DM⊥AB于M，
∴∠TDM=∠NDM=30°,
∵∠DN1N=∠TT1D=90°，
∴△DN1N∽△D T1T
∴
又∵∠TMT1=∠NMN1，
∵∠NN1M=∠TT1D=90°，
∴△NN1M∽△TT1M
∴
∴
=
=
∴
∴
12分
如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．
如图，已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），与y轴交于点C（0，3），且对称轴方程为x=1
函数的最大值是4．
（2012•株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（ ）
如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．