Question

已知抛物线y=ax²-（a+c）x+c（其中a≠c且a≠0）．
（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）
（2）若经过此抛物线顶点A的直线y=-x+k与此抛物线的另一个交点为B（

a+c

a

，-c），求此抛物线的解析式；
（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线y=-x+k与 y轴的交点为C，若tan∠POB=

1

4

tan∠POC，求点P的坐标；
（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜n+1（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N，则N关于n的函数关系式为

 

．

Answer 1

分析：（1）利用二次函数与x轴相交y=0，即可解决．
（2）首先表示出二次函数的顶点坐标，利用待定系数法求出．
（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，利用三角函数关系解决．
（4）借助自变量的取值范围，代入二次函数解析式，即可解决．

解答：解：（1）抛物线y=ax²-（a+c）x+c与x轴交点的横坐标是关于x的方程ax²-（a+c）x+c=0（其中a≠0，a≠c）的解．
解得x₁=1，x2=

c

a

．
∴抛物线与x轴交点的坐标为（1，0），(

c

a

，0)

（2）抛物线y=ax²-（a+c）x+c的顶点A的坐标为(

a+c

2a

，-

(a-c)2

4a

)．
∵经过此抛物线顶点A的直线y=-x+k与此抛物线的另一个交点为B(

a+c

a

，-c)，
∴

- (a-c)2 4a =- a+c 2a +k① -c=- a+c a +k② -c=a( a+c a )2-(a+c)× a+c a +c③

由③得c=0．
将其代入①、②得

- a 4 =- 1 2 +k 0=-1+k.

解得a=-2．
∴所求抛物线的解析式为y=-2x²+2x．

（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．（如图）
抛物线y=-2x²+2x的顶点A的坐标(

1

2

，

1

2

)，
点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，1）．
设点P的坐标为（m，n）．
∵点P在x轴上方的抛物线y=-2x²+2x上，
∴n=-2m²+2m，且0＜m＜1，0＜n＜

1

2

．
∴tan∠POB=

PE

OE

=

n

m

，tan∠POC=

PF

OF

=

m

n

．
∵tan∠POB=

1

4

tan∠POC，
∴m²=4n²．
解得m=2n，或m=-2n（舍去）．
将m=2n代入n=-2m²+2m，得8n²-3n=0．
解得n1=

3

8

，n₂=0（舍去）．
∴m=2n=

3

4

．
∴点P的坐标为(

3

4

，

3

8

)．

（4）N关于n的函数关系式为N=4n．
说明：二次函数y=-2x²+2x的自变量x在n≤x＜n+1（n为正整数）的范围内取值，此时y随x的增大而减小，
∴-2n²-2n＜y≤-2n²+2n，
其中的整数有-2n²-2n+1，-2n²-2n+2，-2n²+2n．N=（-2n²+2n）-（-2n²-2n）=4n．

点评：此题主要考查了二次函数与x轴的交点坐标，以及二次函数顶点坐标的表示方法，二次函数解析式的求法等，综合性比较强．