Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线BC：y＝交x轴于点B，点A在x轴正半轴上，OC为△ABC的中线，C的坐标为（m，）

（1）求线段CO的长；

（2）点D在OC的延长线上，连接AD，点E为AD的中点，连接CE，设点D的横坐标为t，△CDE的面积为S，求S与t的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，点F为射线BC上一点，连接DB、DF，且∠FDB＝∠OBD，CE＝，求此时S值及点F坐标．

Answer 1

【答案】（1）CO＝5；（2）S＝﹣2t﹣5；（3）S＝7，F坐标为（，）或（，8）．

【解析】

（1）将点C坐标代入解析式可求m的值，由两点距离公式可求解；

（2）先求出点A坐标，用待定系数法可求CO解析式，可得点D坐标点D（t，﹣t），由面积和差关系可求解；

（3）由中点坐标公式可得点E坐标（，﹣t），由两点距离公式可求t的值，即可求S的值，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和平行线的性质可求解．

解：（1）∵直线BC：y＝x+交x轴于点B，

∴点B坐标（﹣8，0），

∵C的坐标为（m，）

∴＝×m+，

∴m＝﹣，

∴点C坐标为（﹣，）

∴CO＝＝5；

（2）如图，

∵OC为△ABC的中线，

∴BO＝AO＝8，

∴S△ACO＝×8×＝10，

∵点C坐标为（﹣，），点O坐标（0，0）

设直线CO为：y=kx，

把C点代入得=﹣×k，

解得k=﹣

∴直线CO解析式为：y＝﹣x，

∴点D（t，﹣t），

∴S△AOD＝×8×（﹣t）＝﹣4t，

∴S△ACD＝S△AOD﹣S△AOC＝﹣4t﹣10，

∵点E为AD的中点，

∴S＝S△ACD＝﹣2t﹣5；

（3）∵点D（t，﹣t），点A（8，0），点E是AD中点，

∴点E坐标（，﹣t），

∵CE＝，

∴（﹣﹣）2+（+t）2＝13，

∴t1＝﹣6，t2＝﹣8，

∴点D（﹣6，）或（﹣8，8），

当t1＝﹣6时，则点F（﹣6，），S＝﹣2×（﹣6）﹣5＝7，

延长DF交x轴于点H，

设点H（x，0）

∵∠FDB＝∠OBD，

∴DH＝BH，

∴x+8＝

∴x＝20，

∴点H（20，0），

设直线DH的解析式为：y＝kx+b，

∴

∴

∴直线DH的解析式为：y＝﹣x+，

联立直线DH和直线BC

∴x+＝﹣x+，

∴x＝，

∴点F（，），

当t2＝﹣8，点D（﹣8，8），S＝﹣2×（﹣8）﹣5＝11，

∵点D（﹣8，8），点B（﹣8，0），

∴∠DBO＝90°，

∵∠FDB＝∠OBD＝90°，

∴DF∥BO，

∴点F的纵坐标为8，

∴8＝x+，

∴x＝，

∴点F（，8）．

综上所述：点F坐标为（，）或（，8）．