Question

（1）抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-2，2）、点B（2，-3）和点O（0，0），求它的解析式．
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-2，2）和点B（2，-3）时，求证：方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别把点A（-2，2）、点B（2，-3）和点O（0，0）分别代入解析式得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）先把点A（-2，2）和点B（2，-3）代入y=ax²+bx+c（a≠0）得，解关于b、c的方程组得到，再计算方程ax²+bx+c=0的根的判别式得到△=b²-4ac，把b、c的值代入后整理得到△=15a²+（a+1）²+，根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．
解答：（1）解：把点A（-2，2）、点B（2，-3）和点O（0，0）分别代入解析式得，
解方程组得，

所以抛物线的解析式为y=-x²-x；

（2）证明：把点A（-2，2）和点B（2，-3）代入y=ax²+bx+c（a≠0）得，
解得，
在方程ax²+bx+c=0中，
∵△=b²-4ac
=-4a•（-4a-）
=16a²+2a+
=15a²+（a+1）²+，
∴△＞0，
∴方程ax²+bx+c=0一定有两不相等的实数根．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：常设二次函数的解析式有一般式、顶点式和交点式．也考查了一元二次方程根的判别式．