Question

如图，已知AB=AC，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，BD平分∠ABC．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求的值；
（3）求cosA的值．

Answer 1

解：（1）证明：∵AB的中垂线MN交AC于点D
∴AD=BD
∴∠A=∠ABD
∵BD平分∠ABC
∴∠A=∠ABD=∠DBC，
又∵∠C是公共角
∴△ABC∽△BDC；

（2）根据（1）可得：AD=BD=BC
设AC=1，AD=x
∵△ABC∽△BCD
则，
解得或（不合题意，舍去）
∴，
∴；

（3）在Rt△AMD中，DM⊥AB
∴．
分析：（1）首先根据中垂线的性质得到AD=BD，接着得到∠A=∠ABD，而BD平分∠ABC，由此得到∠A=∠ABD=∠DBC，又∠C是公共角，然后利用相似三角形的判定定理即可证明△ABC∽△BCD；
（2）根据（1）可得AD=BD=BC，设AC=1，AD=x，然后利用相似三角形的性质得到，解方程求得，然后就可以求出；
（3）在Rt△AMD中，DM⊥AB，根据三角函数的定义即可解决问题．
点评：此题分别考查了相似三角形的性质与判定、垂直平分线的性质及三角函数的定义，综合性比较强，解题首先根据垂直平分线的性质构造相似三角形的条件，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．