题目内容
【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3).
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设抛物线上的一个动点P的横坐标为t（0＜t＜3），过点P作PD⊥BC于点D. ① 求线段PD的长的最大值；② 当BD=2CD时，求t的值；
（3）若点Q是抛物线的对称轴上的动点，抛物线上存在点M，使得以B、C、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有满足条件的点M的坐标.
【答案】(1) y=-x2+2x+3;(2)①
;②2;(3) (2,3)或(4,-5)或(-2,-5).
【解析】试题分析: （1）将A、B、C三点的坐标代入y=a（x+1）（x-3）即可求出抛物线的解析式．
（2）①过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，求出△PBC的最大面积，即可求出PD的最大值．
②过点D作DG⊥x轴于点G，由于DG∥OC，从而可知
，从而可求出t的值．
（3）由于BC是B、C、Q、M为顶点的四边形中的一条固定的线段，因此将此线段分为平行四边形的边和对角线进行讨论即可求出M的坐标．
试题解析:
（1）设抛物线所对应的函数关系式为
将A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入
得：
解得： 
∴抛物线所对应的函数关系式为
（2）①设点P的坐标为（t， 
）
过P作PN⊥x轴于点F，交BC于点E
设直线BC解析式为y=kx+b
把B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b得
解得：k=-1,b=3
∴直线BC解析式为y=-x+3
∴点E坐标为（t， 
）
PE=
-（
）=
∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°
∵PD⊥BC
∴∠PED=45°
∴PD=PE×sin45°=
PE=
（
）=-
∴当t=
时，PD的最大面积为
②过D作DG⊥x轴于点G，则DG∥OC
∴△BOC∽△BGD
∴
当BD=2CD时，BD：BC=2：3
∴DG=2，即点D的纵坐标为2
把y=2代入y=-x+3得x=1
∴D点坐标为（1，2）
设直线PD解析式为：y=x+b
把D（1，2）代入上式得：
2=1+b,
解得：b=1
∴直线PD解析式为y=x+1
解方程组
得： 
， 
（ 舍去）
∴当BD=2CD时,t的值为2
{或∵△PDE是等腰直角三角形，∴
）
即
，
解得： 
， 
（ 舍去）}
（3）∵点Q是抛物线
的对称轴x=1上的动点，
∴点Q的横坐标为1,
∵点M在抛物线
上，∴设点M的坐标为（m， 
）
（I）如图，当BC、QM为平行四边形的对角线时，
可得： 
即：3=1+m,
∴m=2
∴点M坐标为（2，3）
（II）如图，当BQ、MC为平行四边形的对角线时，
可得： 
即：3+1=m,
∴m=4
∴点M坐标为（4，-5）
（III）如图，当BM、QC为平行四边形的对角线时，
可得： 
即：3+m=1,
∴m=-2
∴点M坐标为（-2，-5）
综合以上所述，满足平行四边形的点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-2，-5）
点睛: 本题难度较大，考查的是二次函数图象与解析式的灵活运用，一般这样题目都是作为压轴题出现，考生平时应多积累二次函数的综合知识．
