Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣7mx+3与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（1，0）．点C（x2，0），过点A作直线AD∥x轴，与抛物线交于点D，在x轴上有一动点E（t，0），过点E作直线l∥y轴，与抛物线交于点P，与直线AD交于点Q．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）当0＜t≤7时，求△APC面积的最大值；

（3）当t＞1时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当x=1时，m﹣7m+3=1；（2）当t=7时，S△APC最大=，当t=3时，S△APC最大=；

（3）存在，t=或或13．

【解析】分析：

（1）先将点B坐标代入抛物线解析式求出m，即可得出结论；

（2）分两种情况，利用面积和或差得出函数关系式，即可得出结论；

（3）分两种情况，利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论．

详解：（1）当x=1时，m﹣7m+3=1；

∴m=，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x+3，

当y=0时，0=x2﹣x+3，

∴x=1或x=6，

∴C（6，0）；

（2）由题意知，点P与点C不能重合，

∴t≠6，

∵A（0，3），C（6，0），

∴直线AC的解析式为y=﹣+3，

∵E（t，0），

设直线AC与l的交点为F，

∴F（t，﹣t+3），

当0＜t＜6时，FP=﹣t2+3t，

∴S△APC=S△APF+S△PFC=﹣（t﹣3）2+，

当t=3时，S△APC最大=，

当6＜t≤7时，S△APC=S△APF﹣S△PFC=（t﹣3）2﹣，

当t=7时，S△APC最大=，

∴当t=3时，S△APC最大=；

（3）存在，

理由：在△AOB中，OA=3，OB=1，∠AOB=90°，P（t， t2﹣t+3），

∵点P和点D不能重合，

∴t≠7，

当1＜t＜7时，QA=t，QP=﹣t2+t，

若△AOB与△AQP相似，

∴或，

∴或，

∴t1=0（舍），t2=或t3=0（舍），t4=1（舍）

当t＞7时，QA=t，PQ=t2﹣t，

若△AOP与△AOB相似，

∴或，

∴或，

∴t5=0（舍）或t=或t7=0（舍）t8=13，

综上述，t=或或13．