Question

已知：等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，动点P从点D出发沿DC以每秒1个单位向终点C运动，点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位向B运动，当点P到达C时，点Q随之停止运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）求梯形ABCD面积．
（2）当PQ∥AB时，求t．
（3）当点P、Q、C三点构Rt△时，求t值．

Answer 1

分析：（1）利用等腰梯形的性质首先得出BE=CF，AD=EF，进而得出AE=DF=4，利用梯形面积求出即可；
（2）首先得出△CQP∽△CMD，再利用相似三角形的性质得出t的值即可；
（3）分别当∠PQC=90°时，易证，△CQP∽△CND，当∠CPQ=90°时，易证△CQP∽△CDN，进而得出即可．

解答：（1）解：如图1，分别过点A，D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F
易证BE=CF，AD=EF，
因为AB=DC=5，AD=6，BC=12，
所以AE=DF=4，
所以梯形ABCD面积=

1

2

×4×（6+12）=36；

（2）由题意知：CP=5-t，CQ=2t，
如图2，过点D作DM∥AB，
∵PQ∥AB，
∴PQ∥DM，BM=AD=6，
∴△CQP∽△CMD，
 CM=6，
∴

CP

CD

=

CQ

CM

，
∴

5-t

5

=

2t

6

，
∴t=

15

8

；

（3）如图3，当∠PQC=90°时，易证，
∴△CQP∽△CND，
∴

CP

CD

=

CQ

CN

，
∴

5-t

5

=

2t

3

，
∴t=

15

13

，
如图4，当∠CPQ=90°时，易证
∴△CQP∽△CDN，
∴

CP

CN

=

CQ

CD

，
∴

5-t

3

=

2t

5

，
∴t=

25

11

综上所述，当 t=

25

11

或 t=

15

13

时点P、Q、C三点构成RT△．

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练利用相似三角形的性质得出是解题关键．