Question

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数y₁=kx与反比例函数y₂=的图象分别交于第一、第三象限的点B，D，已知点A（-a，0），C（a，0）．
（1）直接判断并填写：四边形ABCD的形状一定是______；
（2）①当点B坐标为（p，2）时，四边形ABCD是矩形，试求p、k和a的值；
　　 ②直接写出不等式kx的解集；
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）四边形ABCD的形状一定是平行四边形；

（2）①过B点作BE⊥x轴于E点，如图，
把B（p，2）代入y₂=，
∴p==，
∴B点坐标为（，2），
∴OB===，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴a=，
把B（，2）代入y₁=kx得2=k，
解得k=，
②点D与点B关于原点对称，点D的坐标为（-，-2），
等式kx的解集为-＜x＜0或x＞；

（3）四边形ABCD不能是菱形．理由如下：
因为反比例函数图象与坐标轴没交点，即B点与点D不可能在y轴上，
所以BD与AC不可能垂直，
所以四边形ABCD不能是菱形．
分析：（1）由点A（-a，0），C（a，0）得OA=OC，再根据反比例函数图象关于原点中心对称，得到OB=OD，根据平行四边形的判定即可得到四边形ABCD为平行四边形；
（2）①过B点作BE⊥x轴于E点，把B（p，2）代入y₂=，可求出p=，则B点坐标为（，2），再利用勾股定理计算OB===，再根据矩形的性质得
OB=OC，得到a=，然后把B（，2）代入y₁=kx可求出k的值；
②先得到反比例函数的性质得到点D的坐标为（-，-2），然后观察图象得到当-＜x＜0或x＞时，正比例函数y₁=kx的图象都在反比例函数y₂=的图象的上方；
（3）由于比例函数图象与坐标轴没交点，即B点与点D不可能在y轴上，而点A、点C在x轴上，则BD与AC不可能垂直，根据菱形的判定方法得到四边形ABCD不能是菱形．
点评：本题考查了反比例函数综合题：反比例函数图象为双曲线，关于原点中心对称；点在图象上，点的坐标满足其解析式；掌握平行四边形、菱形的判定与性质和勾股定理．