Question

【题目】如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点p作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；
（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，

得到 ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（2）解：如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴OB=OC，

∴∠OBC=45°，

∵PF∥OB，

∴∠PFE=∠OBC=45°，

∵PE⊥BC，

∴∠PEF=90°，

∴△PEF是等腰直角三角形，

∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，

则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC= 3（﹣m2+2m+3）+ 3m﹣ =﹣ （m﹣ ）2+ ，

∴m= 时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，

此时P（ ，﹣ ），

∵直线BC的解析式为y=x﹣3，

∴F（﹣ ，﹣ ），

∴PF= ，

∵△PEF是等腰直角三角形，

∴EF=EP= ，

∴C△PEF最大值= + ．

（3）解：①如图2中，

当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，

②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．

易知△PFN≌△PEM，

∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），

∵M（1，﹣4），

∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），

∴m= 或 （舍弃），

∴P点横坐标为

所以满足条件的点P的横坐标为2或 ．

【解析】分析：（1）把A，B两点坐标代入抛物线，即可求出此函数解析式。
（2）由B（3，0），C（0，﹣3）两点坐标，可得出△OBC是等腰直角三角形，根据已知PE⊥BC，PF∥x轴，可证得△PEF是等腰直角三角形，则PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，求出S△PBC与m的函数关系式，求出其顶点坐标，即可得到△PBC的面积最大时m的值，再求出直线BC的解析式，即可求得点F的坐标，求出PF、EF、EP的长，即可△PEF周长的最大值。
（3）①当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P点坐标；②当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，得到F=PE，建立方程，求解即可得到满足条件的点P的横坐标。
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和轴对称的性质的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上才能正确解答此题．