Question

【题目】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．

（1）求点A，点B的坐标；

（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；

（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．

（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（0，）；（2）EF=t，AF=4﹣2t；（3）相似；（4）．

【解析】（1）在直线中，令y=0可得，解得x=2，令x=0可得y=，∴A为（2，0），B为（0，）；

（2）由（1）可知OA=2，OB=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE=t，∵EF∥x轴，∴在Rt△BEF中，EF=BEtan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；

（3）相似．理由如下：

当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t=，∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE==，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE=，又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得==，又AFAB=×4=，∴AFAB=AG2，即，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；

（4）存在，∵EG∥x轴，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t=，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE===，∴E点坐标为（0，），∵抛物线的顶点为A，∴可设抛物线解析式为，把E点坐标代入可得=4a，解得a=，∴抛物线解析式为．