Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．
（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动求出1秒后AP及BQ的长，进而可得出QD及的长，再由PE∥BC可知=，故可得出PE=QD，由PE∥BC即可得出结论；
（2）先用t表示出PC及CQ的长，再求出=即可得出结论；
（3）分∠EQP=90°，∠QED=90°两种情况，通过三角形相似，列出比例关系，求出t的值即可．
解答：解：（1）能，
如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒，
∴AP=1厘米，BQ=1.25厘米，
∵AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，CD=3cm，
∴PC=AC-AP=4-1=3（厘米），QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75（厘米），
∵PE∥BC，
∴=，=，解得PE=0.75，
∵PE∥BC，PE=QD，
∴四边形EQDP是平行四边形；

（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴==1-，==1-，
∴=，
∴PQ∥AB；

（3）分两种情况讨论：
①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴=，
∵BC=5厘米，CD=3厘米，
∴BD=2厘米，
∴DQ=1.25t-2，
∴=，解得t=2.5（秒）；
②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则四边形EMCP是矩形，EM=PC=4-t，
在Rt△ACD中，
∵AC=4厘米，CD=3厘米，
∴AD===5，
∴CN==，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴==，=，解得t=3.1（秒）．
综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．
点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及直角三角形的性质，难度较大．