Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，现将Rt△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到Rt△DEC（如图①）

（1）请判断ED与AB的位置关系，并说明理由．

（2）如图②，将Rt△DEC沿CB方向向右平移，且使点D恰好落在AB边上，记平移后的三角形为Rt△DEF，连接AE、DC，求证：∠ACD=∠AED．

Answer 1

【考点】旋转的性质；平移的性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）延长ED交AB于F，如图①，根据旋转的性质得∠A=∠E，再利用∠A+∠B=90°得到∠E+∠B=90°，则根据三角形内角和定理易得∠EFB=90°，于是利用垂直的定义可判断ED⊥AB；

（2）如图②，先利用平移的性质和（1）中的结论得到DE⊥AB，即∠ADE=90°，则利用圆周角定理的推论得到点C和点D在以AE为直径的圆上，然后根据圆周角定理即可得到结论．

【解答】（1）解：ED⊥AB．理由如下：

延长ED交AB于F，如图①，

∵Rt△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到Rt△DEC，

∴∠A=∠E，

∵∠A+∠B=90°

∴∠E+∠B=90°

∴∠EFB=90°

∴ED⊥AB；

（2）证明：如图②，

∵将Rt△DEC沿CB方向向右平移，且使点D恰好落在AB边上，

∴DE⊥AB，

∴∠ADE=90°，

∵∠ACE=90°，

∴点C和点D在以AE为直径的圆上，

∴∠ACD=∠AED．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决（2）的关键是确定点C和点D在以AE为直径的圆上，从而利用圆周角定理求解．