Question

（2012•莆田质检）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是射线CA上的一个动点 （不与A、C重合），DE⊥直线AB于E点，点F是BD的中点，过点F作FH⊥直线AB于H点，连接EF，设AD=x．
（1）①若点D在AC边上，求FH的长（用含x的式子表示）；
②若点D在射线CA上，△BEF的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相交于O点，当DP+FP的值最小时，猜想DO与PO之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，依题意可证△ADE∽△ABC，利用相似比求DE，由中位线定理求FH；
②当点D在AC边上时（如图1），直接利用三角形面积公式，求S与x的函数关系式，
当点D在CA延长线上时（如图2），由△ADE∽△ABC求DE，AE，再求FH，BE，求S与x的函数关系式；
（2）猜想：DO=3PO．作点F关于AB的对称点F′，连接FF′则FF′⊥AB于H，连接DF′交EF于O，交AB于P，此时DP+FP的值最小．
连接EF′，可判断四边形DEF′F为平行四边形，DO=OF′，由DE=2HF′，DE∥HF′，可得DP=2PF′，即DO+OP=2（DO-OP），解得DO=3PO．

解答：解：（1）①
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
方法一：sinA=

BC

AB

=

6

10

=

3

5

，
∵∠AED=90°，∴DE=AD•sinA=

3

5

x，
∵∠DEB=90°，F是BD的中点，
∴EF=BF，
∵FH⊥AB，
∴EH=BH
∴FH=

1

2

DE=

3

10

x；

方法二：∵∠AED=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

，
∴

DE

6

=

x

10

，
∴DE=

3

5

x，
∵∠DEB=90°，F是BD的中点，
∴EF=BF
∵FH⊥AB∴EH=BH∴FH=

1

2

DE=

3

10

x，
②∵△ADE∽△ABC，
∴

AE

AC

=

AD

AB

，
∴AE=

4

5

x，
有两种情况：（Ⅰ）当点D在AC边上时，如图1：
∵BE=10-

4

5

x，
∴S=

1

2

BE•FH=

1

2

(10-

4

5

x)•

3

10

x，
∴S=-

3

25

x2+

3

2

x，（0＜x＜8），
（Ⅱ）当点D在CA延长线上时，如图2：
同理得：FH=

1

2

DE=

3

10

x，
∵BE=10+

4

5

x，
∴S=

1

2

BE•FH=

1

2

(10+

4

5

x)•

3

10

x，
∴S=

3

25

x2+

3

2

x，（x＞0），
（2）猜想：DO=3PO，
证明：作点F关于AB的对称点F′，连接FF′则FF′⊥AB于H，连接DF′交EF于O，交AB于P，此时DP+FP的值最小时．连接EF′．
∵FH=

1

2

DE，FH=F′H，
∴FF′=DE又∵FF′∥DE，
∴四边形DEF′F是平行四边形，
方法一：如图3，在△DPE与△F′PH中，
∵∠DEP=∠F′HP=90°∠DPE=∠F′PH，
∴△DPE∽△F′PH，
∴

DP

PF′

=

DE

F′H

=2，∴DP=2PF′，
∴DO+PO=2（DO-PO）化简得：DO=3PO，
方法二：连接OH如图4：
∵OE=OF，FH=F′H，
∴OH∥EF，且OH=

1

2

EF，
∴△OPH∽△F′PE，
∴

OP

PF，

=

OH

EF，

=

1

2

，∴DO=OF′=3PO，
方法三：取PB的中点M，连接FM如图5：
∵FH=F′H，FH=

1

2

DE，
∴FF′=DE，又∵FF′∥DE，
∴四边形DEF′F是平行四边形，
∴OE=OF，
∵DF=BF，PM=BM，
∴FM∥DP，∴OP=

1

2

FM，FM=

1

2

DP，
∴DP=4PO，
∴DO=3PO．

点评：本题考查了相似形的综合运用．关键是利用三角形相似求边长，根据D点的位置分类求函数关系式，根据对称性画图，求当DP+FP的值最小时的图形，根据平行四边形的判定与性质，三角形相似求DO与PO之间的数量关系．