题目内容

如图1，抛物线y=a（x-2）²-2的顶点为C，抛物线与x轴交于A，B两点（其中A点在B点的左边），CH⊥AB于H，且tan∠ACH= $数学公式$
（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标平面内是否存在一点D，使得以O、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，求所有的符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，将（1）中的抛物线平移，使其顶点在y轴的正半轴上，在y轴上是否存在一点M，使得平移后的抛物线上的任意一点P到x轴的距离与P点到M的距离相等？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由抛物线的解析式知：C（2，-2）；
在Rt△ACH中，CH=2，AH=CH•tan∠ACH=2× $\text{[math]}$ =1，则 A（1，0）、B（3，0）．
将点A的坐标代入抛物线的解析式中，得：
0=a（1-2）²-2，则 a=2；
∴抛物线的解析式：y=2（x-2）²-2=2x²-8x+6．

（2）假设存在符合条件的D点．
连接OC、BC，由B（3，0）、C（2，-2）得：
OB=3；∠HOC=∠HCO=45°，OC=2 $\text{[math]}$ ；tan∠HBC=2，BC= $\text{[math]}$ ．
①当OB∥CD₁、OD₁=BC时，如右图；
点D₁的横坐标的纵坐标与BH长相同，则点D₁（1，-2）．
②当OD₂∥BC、OC=BD₂时；
tan∠D₂OB=tan∠HBC=2，则直线OD₂：y=2x；
设点D₂（x，2x），则：BD₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由OC=BD₂得：2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得：x= $\text{[math]}$ ，x=1（舍）
即点D₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
③当OC∥BD₃、OD₃=BC时；
∠D₃BO=∠HOC=45°，即tan∠D₃BO=1，可设 B（x，3-x）；
由OD₃=BC= $\text{[math]}$ ，得：
x²+（3-x）²=5，解得 x=2，x=1（舍）
即点D₃（2，1）．
综上可知，存在符合条件的点D，且坐标为：（1，-2）、（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、（2，1）．

（3）设平移后的抛物线解析式为：y=2x²+m，那么其顶点为（0，m），若存在符合条件的点M，则M（0，2m）；（m＞0）
设P（x，2x²+m），则：
PM²=（x-0）²+（2x²+m-2m）²=x²+4x⁴-4mx²+m²，P到x轴的距离：2x²+m；
依题意有：x²+4x⁴-4mx²+m²=（2x²+m）²，解得：m= $\text{[math]}$ ．
∴存在符合条件的点M，且坐标为 M（0， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据给出的抛物线解析式，能得到顶点C的坐标，则CH长可求，在Rt△ACH中，结合∠ACH的正弦值能得到AH的长，在确定点A的坐标后代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．
（2）这道题需要充分利用等腰梯形的性质：两底平行、两腰相等、对角线相等、同一底上的两内角相等．首先根据上述特点中的相等角，找出点D的大致位置，然后再根据相等的边长求出点D的坐标，在求解时要分三种情况考虑：以OB、OC、BC为下底进行考虑．
（3）首先用未知数表示平移后的抛物线解析式（平移过程中，二次项系数是不变的）和点M的坐标，然后用两点间的距离公式求出PM的长，依据“P到x轴的距离与P点到M的距离相等”作为等量条件求出点M的坐标．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、等腰梯形的判定和性质、解直角三角形、坐标系两点间的距离公式等重要知识．最后两个小题是该题的难点，特别是（2）题，由于考虑不够全面而造成的漏解是容易出错的地方．