Question

如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线．
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B=α，∠C=β，用含α，β的式子表示∠DAE．

Answer 1

解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠DAC=40°，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=50°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=50°-40°=10°；

（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=β，
∴∠DAC=90°-β，
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=（180°-α-β）=90°-α-β，
∴当α＜β时，∠DAE=∠EAC-∠DAC=（90°-α-β）-（90°-β）=β-α，
当α＞β时，∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-β-（90°-α-β）=α-β．
分析：（1）首先根据三角形高的性质，求得∠DAC的度数，又由AE是三角形的角平分线，求得∠EAC=∠BAC，由三角形的内角和等于180°，即可求得∠EAC的度数，则问题得解；
（2）解题方法与（1）一样，注意分析∠B与∠C的大小，存在两个答案．
点评：此题考查了三角形的内角和定理与三角形角平分线、高线的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．