Question

27、如图所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠EAD=90°，连接BD、CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）观察图形，猜想BD与CE之间的位置关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形从而得到两腰相等，两直角相等，从而可以利用SAS判定△ABD≌△ACE，从而得出BD=CE．
（2）由第一步证得△ABD≌△ACE，得到其对应角相等即：∠ABD=∠ACE，再利用三角形的内角和公式，从而得出∠CGF=∠BAC=90°，即BD与CE之间的位置关系为垂直．

解答：证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，（1分）
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE．（2分）
在△ABD和△ACE中：
AB=AC
∠BAD=∠CAE
AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．（5分）
∴BD=CE．（6分）

解：（2）BD与CE相互垂直．（7分）
设AC交BD于点F，EC交BD于点G，
由（1）证得：∠ABD=∠ACE，（8分）
又∵∠AFB=∠GFC，（9分）
在△ABF和△GCF中：
∠BAC=180°-∠ABD-∠AFB，
∠CGF=180°-∠ACE-∠GFC，（11分）
∴∠CGF=∠BAC=90°．
∴BD⊥CE．（12分）

点评：此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有AAS、SAS、SSS、HL等．