Question

如图，已知点M是正方形ABCD的边AB上的中点，MN⊥DM，与∠ABC外角的平分线交于N．求证：MD＝MN．

Answer 1

答案：
解析：

分析　MD和MN所在的两个三角形明显不全等，要想用全等三角形证明两条线段相等，就要添辅助线．∠DMN＝90°，不难发现∠MDA＝∠NMB．要想两个三角形全等，至少要有一条边对应相等，即P为AD的中点，则有DP＝MB，在△PDM和△BMN中，只要再有一个角相等即可证明它们全等，由已知条件可推出∠DPM＝∠MBN＝135°．问题至此解决． 　　证明　取AD的中点P，连结PM，△PDM和△BMN中，∵∠DMN＝90°∴∠NMB＋∠DMA＝90°．又∠MDA＋∠DMA＝90°．∴∠NMB＝∠MDA．即∠NMB＝∠MDP．又∵M为AB的中点，P为AD的中点，∴MB＝DP．又∵AP＝AM，△APM为等腰直角三角形，∠APM＝45°，∠MPD＝135°，BN为∠ABC外角平分线，∠NBE＝45°，∠NBM＝135°．∴∠DPM＝∠NBM．△PDM≌△BMN，∴DM＝MN．