题目内容

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线.

（1）如图2，在△ABC中，∠A=360°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；

（2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；

（3）如图4，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=900，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论.

 

【答案】

（1）点D是AB边上的黄金分割点（2）直线CD是△ABC的黄金分割线（3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线

【解析】解：（1）点D是AB边上的黄金分割点，证明如下：

∵∠A=360°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=720。

∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=360。∴∠BDC=∠B=720。

∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC。∴。

又∵BC=CD=AD，∴。

∴点D是AB边上的黄金分割点。

（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，证明如下：

设△ABC的边AB上的高为h，则，

∴。

∵D是AB的黄金分割点，∴。∴。

∴直线CD是△ABC的黄金分割线。

（3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线，证明如下：

∵BC∥AD，∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD。∴。

∴，即。

同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得，即。

∴。∴AH=HD。∴BG=GC。

∴梯形ABGH与梯形GHDH上下底分别相等，高也相等。

∴。

∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线。

（1）由等腰三角形角和边的关系，根据△BCD∽△BAC得到而证明。

（2）根据黄金分割线的定义证明直线CD是△ABC的黄金分割线。

（3）反复应用相似三角形的相似比得出梯形ABGH与梯形GHDH上下底分别相等，高也相等的结论，从而得到GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线的结论。

 

练习册系列答案
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如图1，点C将线段AB分成两部分，如果
AC
AB
=
BC
AC
，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
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S1
S
=
S2
S1
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V
=
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AC
AB
=
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（2013•黄石）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果
AC
AB
=
BC
AC
，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果
S1
S
=
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，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
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如图1，点C将线段AB分成两部分，如果
AC
AB
=
BC
AC
，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果
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S
=
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S1
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（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组探究发现：在（1）中，过点C任作AE交AB于E，再过点D作，交 AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF是△ABC的黄金分割线．请说明理由．

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