题目内容

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果
AC
AB
=
BC
AC
，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果
S1
S
=
S2
S1
，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．
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分析：（1）若点D为AB边上的黄金分割点，则有
AD
AB
=
BD
AD
．如果设△ABC的边AB上的高为h，根据三角形的面积公式，易得
S△ADC
S△ABC
=
AD
AB
，
S△BDC
S△ADC
=
BD
AD
，即有
S△ADC
S△ABC
=
S△BDC
S△ADC
，根据图形的黄金分割线的定义即可判断；
（2）由于等底同高的两个三角形的面积相等，所以三角形任意一边上的中线都将三角形分成面积相等的两部分，即有s1=s2=
1
2
s，则
s1
s
≠
s2
s1
，从而可知三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；
（3）由于直线CD是△ABC的黄金分割线，所以
S△ADC
S△ABC
=
S△BDC
S△ADC
．要想说明直线EF也是△ABC的黄金分割线，只需证明
S△AEF
S△ABC
=
S四边形BEFC
S△AEF
，即证S△ADC=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC即可．因为DF∥CE，所以△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，所以有S△DFC=S△DFE，所以S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．
（4）根据黄金分割线的定义即可作出．本题答案不唯一，作法有无数种．
解答：解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h．
则S△ADC=
1
2
AD•h，S△BDC=
1
2
BD•h，S△ABC=
1
2
AB•h，
∴
S△ADC
S△ABC
=
AD
AB
，
S△BDC
S△ADC
=
BD
AD
．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴
AD
AB
=
BD
AD
，
∴
S△ADC
S△ABC
=
S△BDC
S△ADC
．
故直线CD是△ABC的黄金分割线．

（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴s1=s2=
1
2
s，即
s1
s
≠
s2
s1
，
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．

（3）∵DF∥CE，
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，
∴S△DFC=S△DFE，
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．
又∵
S△ADC
S△ABC
=
S△BDC
S△ADC
，
∴
S△AEF
S△ABC
=
S四边形BEFC
S△AEF
．
因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）

（4）画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
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（9分）
点评：本题考查学生的阅读能力、知识迁移能力、分析问题及解决问题的能力．综合性较强，有一定难度．
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AC
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=
BC
AC
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S1
S
=
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S1
，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图2）精英家教网
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V1
V
=
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=
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S
=
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（2）若△ABC在（1）的条件下，如图3，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
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如图1，点C将线段AB分成两部分，如果
AC
AB
=
BC
AC
，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果
S1
S
=
S2
S1
，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

（本小题满分10分）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果AB : AC=AC : BC，那么称点C为线段的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1: S2，如果S : S1= S1: S2，，那么称直线为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组探究发现：在（1）中，过点C任作AE交AB于E，再过点D作，交 AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF是△ABC的黄金分割线．请说明理由．

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