Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。

（1）求点C的坐标；

（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；

（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。

注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为

Answer 1

（1）过点C作CH⊥轴，垂足为H

∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90⁰，∠BOA＝30⁰，AB＝2

∴OB＝4，OA＝

由折叠知，∠COB＝30⁰，OC＝OA＝

∴∠COH＝60⁰，OH＝，CH＝3

∴C点坐标为（，3）

（2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点

       ∴      解得：

        ∴此抛物线的解析式为：

（3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C

       MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝30⁰，所以ON＝

       ∴P（，）

       作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E

把代入得：

        ∴ M（，），E（，）

       同理：Q（，），D（，1）

       要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD

       即，解得：，（舍）

       ∴ P点坐标为（，）

      ∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）