Question

【题目】已知函数，（为常数）．

（1）当时，

①求此函数图象与轴交点坐标．

②当函数的值随的增大而增大时，自变量的取值范围为________．

（2）若已知函数经过点（1，5），求的值，并直接写出当时函数的取值范围．

（3）要使已知函数的取值范围内同时含有和这四个值，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①（0,3）；②x≤或x≥1 ；（2）或8≤y＜20；（3）≤k＜或k≥2．

【解析】

（1）①将代入函数关系式得，再将x＝0代入即可求得与y轴的交点坐标；

②先将两个二次函数关系式分别配成顶点式，再根据开口方向、对称轴及自变量的取值范围即可判断得解；

（2）将（1,5）分别代入两个函数关系式求得k的值，再逐个检验，进而可求得正确的函数关系式，再根据x的取值范围确定y的取值范围即可；

（3）分类讨论，当k≤0时，当0＜k＜2时，当k≥2时，画出相应的函数图像，讨论图像中的特殊点的坐标即可求得k的取值范围．

（1）当时，

①∵，

∴把x＝0代入得．

∴此函数图象与y轴交点坐标为（0,3）．

②当x≤时，

配方得

∵a＝－1＜0，对称轴为直线x＝－1，

∴当x≤－1，y随x的增大而增大，符合题意，

当x＞时，，

配方得，

∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝1，

∴当x≥1时，y随x的增大而增大，符合题意，

综上所述：当函数的值随的增大而增大时，自变量的取值范围为x≤或x≥1；

（2）当k≥1时，

把（1,5）代入，得，

解得无实根．

当k＜1时，

把（1,5）代入，得，

解得（不合题意，舍去），．

∴．

∴

当x＝－2时，将x＝－2代入

得：y＝－4，

当－2＜x≤0时，

配方得

∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝2，

∴当－2＜x≤0时，8≤y＜20，

综上所述：当－2≤x≤0时，y的取值范围为或8≤y＜20．

（3）由题意可知，

当k≤0时，函数图像如图所示，

则的最大值2k≥－2即可，

解得k≥－1，

∴－1≤k≤0，

当0＜k＜2时，的最大值2k＜4

则当x＞k时，的最小值＜4即可，

将x＝k，y＝4代入得

解得（舍去），

∴0＜k＜，

当k≥2时，的最大值2k≥4，

如图，此时在左边的图像上的最大值不小于4，符合题意，

∴k≥2，

综上所述：≤k＜或k≥2．