Question

（2012•朝阳区二模）如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF=HG．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若sin∠HGF=

3

4

，BF=3，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质以及等腰三角形的性质首先求出∠3=∠1，进而得出∠BEG=90°即可得出AB⊥CD；
（2）连接AF，首先得出∠HGF=∠1=∠4=∠A，利用锐角三角函数得出AB即可得出半径．

解答：（1）证明：如图，连接OF，
∵HF是⊙O的切线，
∴∠OFH=90°．
即∠1+∠2=90°．
∵HF=HG，∴∠1=∠HGF．
∵∠HGF=∠3，∴∠3=∠1．
∵OF=OB，∴∠B=∠2．
∴∠B+∠3=90°．
∴∠BEG=90°．
∴AB⊥CD．

（2）解：如图，连接AF，
∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，
∴∠AFB=90°．
即∠2+∠4=90°．
∴∠HGF=∠1=∠4=∠A．
在Rt△AFB中，AB=

BF

sin∠A

=

3

3 4

=4．
∴⊙O的半径长为2．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及切线的判定与性质和锐角三角函数应用，根据已知得出∠HGF=∠1=∠4=∠A是解题关键．