Question

如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=

2

2

a

，O点到AB的距离=

1

2

a

．

Answer 1

分析：过O作OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，然后由OA=OB，且∠AOB为直角，得到三角形OAB为等腰直角三角形，由斜边AB的长，利用勾股定理求出直角边OA的长即可；再由C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形OAC中，由OA及AC的长，利用勾股定理即可求出OC的长，即为O点到AB的距离．

解答：解：过O作OC⊥AB，则有C为AB的中点，

∵OA=OB，∠AOB=90°，AB=a，
∴根据勾股定理得：OA²+OB²=AB²，
∴OA=

2

2

a，
在Rt△AOC中，OA=

2

2

a，AC=

1

2

AB=

1

2

a，
根据勾股定理得：OC=

OA2-AC2

=

1

2

a．
故答案为：

2

2

a；

1

2

a

点评：此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，在圆中遇到弦，常常过圆心作弦的垂线，根据近垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．