Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.

（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；

（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后                                      再沿x轴对折得到

△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，

        又D（5，2），

        ∴C（0，2），OC=2 . …………………………… 2分

        ∴    解得

        ∴抛物线的解析式为： …… 4分

    （2）点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分

         由y = 0，得.

         解得x₁=1，x₂=4. ∴A（4，0），B（1，0）.   ……………………………… 6分

         ∴OA=4，OB=1.

         由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

         由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，

         ∴点E的坐标为（3，－1）.  ………………………………………………… 7分

         把x=3代入，得，

         ∴点E在抛物线上. …………………………………………………………… 8分

     （3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.

                S_梯形BCGF = 5，S_梯形ADGF = 3，记S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，

         

下面分两种情形：

          ①当S₁∶S₂ =1∶3时，，

此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，

由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，

∴CQ=3－(9－3a) =3a －6

由S₁=2，得，解得；………………… 11分

              ②当S₁∶S₂=3∶1时，

此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，

由S₁= 6，得，解得.

综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）……… 14分

     法二：存在点P（a，0）. 记S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.

当PQ经过点F（3，0）时，易求S₁=5，S₂ = 3，

此时S₁∶S₂不符合条件，故a≠3.

设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则，解得，

∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） ……… 10分

∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.

下面分两种情形：

①当S₁∶S₂ = 1∶3时，= 2；

  ∴4a－7 = 2，解得；……………………………………………… 12分

②当S₁∶S₂ = 3∶1时，；

   ∴4a－7 = 6，解得；

综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）………… 14分