Question

如图，边长为4的正三角形的内切圆半径是

2 3

3

，外接圆半径是

4 3

3

．

Answer 1

分析：根据O为等边△ABC的内心（也是等边△AB的外心），连接OA、OC、OB，设AO交BC于D，则AD⊥BC，BD=DC，即OB是△ABC外接圆的半径，OD是△ABC内切圆的半径，求出BD=DC=2，求出∠OBD=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，在Rt△OBD中，求出OD=BD•tan30°=

2 3

3

，根据OB=2OD求出OB即可．

解答：解：设O为等边△ABC的内心（也是等边△AB的外心），连接OA、OC、OB，设AO交BC于D，
则AD⊥BC，BD=DC，
即OB是△ABC外接圆的半径，OD是△ABC内切圆的半径，
∵BC=4，
∴BD=DC=2，
∵O为等边△ABC内切圆的圆心，
∴∠OBD=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，
在Rt△OBD中，OD=BD•tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

；
∴OB=2OD=

4 3

3

，
∴正三角形的内切圆半径是

2 3

3

，外接圆半径是

4 3

3

．
故答案为：

2 3

3

，

4 3

3

．

点评：本题考查了等边三角形性质，三角形的内切圆、外接圆、含30度角的直角三角形性质，勾股定理的应用等知识，得出正三角形内外心的关系是解题关键．