题目内容

如图，已知?ABCD的面积是S，依次连接?ABCD各边中点构成第二个平行四边形?EFGH，再依次连接第二个平行四边形各边中点构成第三个平行四边形，…以此类推，则第2009个平行四边形的面积为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
无法确定

B
分析：连接EG，HF，相交于点O，有平行四边形的判定方法和平行四边形的性质：被对角线分的两个三角形的面积相等，可得新生成的平行四边形和前一个四边形的面积之间的关系，得出规律，按此规律即可求出第2009个平行四边形的面积．
解答：连接EG，HF，相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵H和F为中点，
∴AH=BF，

∴四边形ABFH为平行四边形，
∴AE∥HO，
同理可证：EO∥AH，
∴四边形AEOH是平行四边形，
∵EH是对角线，
∴S_△AEH=S_△EOH= $\text{[math]}$ S_AEOH，
同理可得：S_△EOF=S_△BEF= $\text{[math]}$ S_{四边形EBFO}，S_△CFG=S_△FOG= $\text{[math]}$ S_{四边形FOGC}，S_△DHG=S_△HOG= $\text{[math]}$ S_{四边形HOGD}，
∴四边形EFGH的面积= $\text{[math]}$ 四边形ABCD的面积即为 $\text{[math]}$ S，
∴第三个平行四边形的面积为 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ S= $\text{[math]}$ S
以此类推，可知每一个新生成的平行四边形都为前一个平行四边形面积的 $\text{[math]}$ ，
∴第2009个平行四边形的面积= $\text{[math]}$ S．
故选B．
点评：本题考查了平行四边形的判定和平行四边形的性质，解题的关键是找到规律，根据规律求出第2009个平行四边形的面积．