Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．
（1）求证：①AE=AG；②四边形AEFG为菱形．
（2）若AD=8，BD=6，求AE的长．

Answer 1

证明：（1）①∵BG平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠ABE+∠AGE=90°，∠EBD+∠DEB=90°，∠GEA=∠BED，
∴∠AEG=∠EGA，即AG=AE；
②∵GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC，
∴AD∥GF，AG=GF，
又∵AG=AE，
∴AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
又∵AG=AE，
∴四边形AEFG为菱形；
（2）由题意可知，在Rt△ABD中，AD=8，BD=6，
∴AB=10，
∵∠CAB=∠ADB=90°，∠ABD=∠CBA（公共角），
∴△ABC∽△DBA，
故可求出AC=，BC=；
在△ADC中，由平行线分线段成比例可设AG=GF=x，
则x：AD=CG：AC，
即x：8=：，
解得：x=5，
所以AE的长为5．