Question

已知，抛物线y＝ax²＋bx＋c过点A(－3，0)，B(1，0)，，此抛物线的顶点为D．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC．

①求E点的坐标；

②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由．

(3)试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵过C(0，)∴ 　　又过点A(－3，0)B(1，0) 　　∴ 　　∴ 　　∴此抛物线的解析式为 　　(2)①△ABC绕AB的中点M旋转180°．可知点E和点C关于点M对称，∴M(－1，0)，C(0，)，∴E(－2，－)． 　　②四边形AEBC是矩形． 　　∵△ABC绕AB的中点M旋转180°得到四边形AEBC，∴△ABC≌△AEB 　　∴AC＝EB，AE＝BC 　　∴AEBC是平行四边形在Rt△ACO中，OC＝，OA＝3 　　∴∠CAB＝30°∵AEBC是平行四边形 　　∴AC∥BE∴∠ABE＝30°在Rt△COB中 　　∵OC＝，OB＝1∴∠CBO＝60° 　　∴∠CBE＝∠CBO＋∠ABE＝60°＋30°＝90°ABEC是矩形． 　　(3)假设在直线BC上存在一点P，使△PAD的周长最小．因为AD为定值，所以使△PAD的周长最小，就是PA＋PD最小；∵AEBC是矩形，∴∠ACB＝90° 　　∴A(－3，0)关于点C(0，)的对称点A1(3，2)． 　　点A与点A1也关于直线BC对称．连接A1D，与直线BC相交于点P，连接PA，则△PAD的周长最小． 　　∵B(1，0)、C(0，) 　　∴BC的解析式为 　　∵A1(3，2)、D(－1，) 　　∴A1D的解析式为． 　　∴ 　　∴ 　　∴P的坐标为()