Question

．（13分）已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过O（0，0），A（4，0），B（3，）三点，连接AB，过点B作BC∥轴交抛物线于点C．动点E、F分别从O、A两点同时出发，其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动，点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动．设动点运动的时间为t（秒）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）记△EFA的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值，指出此时△EFA的形状；

（3）是否存在这样的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此时E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

见解析

【解析】

（1）根据题意得

        解得：

                 ------------4分

（2）过点B作BM⊥x轴于M，

则BM=,OM=3,∵OM=4,∴AM=1

AB=

∵∴∠BAM=60°

当0<t《2时，AF=t,过点F作FH⊥x轴，

∵FN=Afsin60°=,

当2<t《4时，如图，

当0<t《2时，当时，

当2<t《4时,s<

∴当x=2时，

,此时AE=AF=2又∵∠EAF=60°. ∴△AEF为等边三角形. -----------10分

(3)当0≤t≤2时，

若∠EFA=90°,此时∠FEA=30°, ∴EA=2AF，4-t=2t, ∴.此时E

当∠FEA=90°时，此时∠EFA=30°, ∴2EA=AF，∴t=2(4-t)

∴>2, ∴这种情况不存在。

当2<t《4时，有t-2+t=3

∴t=2.5

E(2.5,0),   F(2.5,).   ------------13分