Question

已知抛物线y=

1

6

x2+bx+c经过点A（5，0），且满足bc=0，b＜c．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M在直线y=2x上，点P在抛物线y=

1

6

x2+bx+c上，求当以O、A、P、M为顶点的四边形为平行四边形时的P点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件进行讨论b、c的情况分别结合A（5，0）代入解析式，即可确定抛物线的解析式；
（2）本题也要进行分类分析：一种情况为OA为边时，根据平行线的性质，结合各已知点的坐标和抛物线的性质求p点的坐标，另一种情况为OA对角线时，根据平行线的性质，结合各已知点的坐标和抛物线的性质求p点的坐标．

解答：解：（1）把A（5，0）代入y=

1

6

x2+bx+c，得

25

6

+5b+c=0．①
∵bc=0，
∴b=0或c=0．
当b=0时，代入①中，得c=-

25

6

＜b，舍去．
当c=0时，代入①中，得b=-

5

6

，符合题意．
∴该抛物线的解析式为y=

1

6

x2-

5

6

x．

（2）①若OA为边，则PM∥OA．
设M（m，2m），
∵OA=5，
∴P（m+5，2m）或P（m-5，2m）．
当P（m+5，2m）时，
∵P点在抛物线上，
∴

1

6

(m+5)2-

5

6

(m+5)=2m，
解得m₁=0（舍），m₂=7．
∴P（12，14）．
当P（m-5，2m）时，
∵P点在抛物线上，
∴

1

6

(m-5)2-

5

6

(m-5)=2m，
解得m₃=2，m₄=25．
∴P（-3，4）或P（20，50）．
②若OA为对角线，则PM为另一条对角线．
∵OA中点为（

5

2

，0），设M（m，2m），
∴P（5-m，-2m）．
∵P点在抛物线上，
∴

1

6

(5-m)2-

5

6

(5-m)=-2m，
解得m₅=0（舍），m₆=-7．
∴P（12，14）．
综上，符合条件的P点共有3个，它们分别是P₁（12，14）、P₂（-3，4）、P₃（20，50）．

点评：本题主要考查了抛物线解析式的确定、抛物线的性质、平行四边形的性质定理，各小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏，熟练二次函数在实际问题中的应用