Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，tan∠ACO=，
（1）求B、C两点的坐标；
（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；
（3）若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数求得OA以及OC的长度，则C、B的坐标即可得到；
（2）直线DE是AC的中垂线，利用待定系数法以及互相垂直的两直线的关系即可求得DE的解析式；
（3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得N的坐标．
解答：解：（1）在直角△OAC中，tan∠ACO==，
∴设OA=x，则OC=3x，
根据勾股定理得：（3x）²+（x）²=AC²，
即9x²+3x²=144，
解得：x=2．
故C的坐标是：（6，0），B的坐标是（6，6）；

（2）直线AC的斜率是：-=-，
则直线DE的斜率是：．
F是AC的中点，则F的坐标是（3，3），设直线DE的解析式是y=x+b，
则9+b=3，解得：b=-6，
则直线DE的解析式是：y=x-6；

（3）OF=AC=6，
∵直线DE的斜率是：．
∴DE与x轴夹角是60°，
当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，
则∠NOC=60°或120°．
当∠NOC=60°时，过N作NG⊥y轴，则NG=ON•sin30°=6×=3，
OG=ON•cos30°=6×=3，则N的坐标是（3，3）；
当∠NOC=120°时，与当∠NOC=60°时关于原点对称，则坐标是（-3，-3）；
当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称．
∵F的坐标是（3，3），
∴∠FOD=∠NOF=30°，
在直角△ONH中，OH=OF=3，ON===2．
作NL⊥y轴于点L．
在直角△ONL中，∠NOL=30°，
则NL=ON=，
OL=ON•cos30°=2×=3．
故N的坐标是（，3）．
当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，
此时点的坐标为：（3，-3）．
则N的坐标是：（3，-3）或（3，3）或（-3，-3）或（，3）．
点评：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题中对于N的位置的讨论是关键．