Question

【题目】如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接，，已知，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接，过点P作交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为项点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设E为线段上一点（不含端点），连接，一动点M从点D出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且点P的坐标为（11，36）或（，）或（，）；（3）当点E的坐标为（2，1）时，点M在整个运动中用时最少．

【解析】

（1）把A、C两点代入抛物线解析式，即可得到关于m、n的方程组，解方程组即可求出m、n的值，进而可得结果；

（2）先求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，从而∠ACB＝90°；过点P作PG⊥y轴于G，设点P的横坐标为x，再分点G在点A的下方和点G在点A的上方，分别利用相似三角形的性质用含x的代数式表示出点P的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求得x的值，问题即得解决；

（3）如图3，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E，DF与AF交于点F，易求得点M在整个运动中的用时为：t＝＝DE+EF=DF，此时点M在整个运动中的用时最少，然后求出点D坐标后，把D的横坐标代入直线AC解析式即可求出结果.

解：（1）把，代入抛物线的解析式，得；，解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．

联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．

∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），

∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，

∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB＝90°，且tan∠BAC＝；

过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．

设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x．

∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°．

若点G在点A的下方，

①如图2①，当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，∴，

∴AG＝3PG＝3x，则P（x，3﹣3x），

把P（x，3﹣3x）代入，得，

解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）；

②如图2②，当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG＝PG＝x，则P（x，3﹣x），

把P（x，3﹣x）代入，得，

解得：x1＝0（舍去），x2＝，

∴P（，）；

若点G在点A的上方，

①当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，

∵△PGA∽△BCA，∴，

∴AG＝3PG＝3x，则P（x，3+3x），

把P（x，3+3x）代入，得，

解得：x1＝0（舍去），x2＝11；

∴点P的坐标为（11，36）．

②当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG＝PG＝x，则P（x，3+x），

把P（x，3+x）代入，得，

解得：x1＝0（舍去），x2＝，

∴P（，）；

综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）或（，）或（，）；

（3）如图3，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E，DF与AF交于点F．

∵A（0，3），C（3，0），∴lAC：y＝﹣x+3，

∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，

∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°，

∴EF＝AEsin45°＝，

∴点M在整个运动中的用时为：t＝＝DE+EF=DF，即当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值DF，此时点M在整个运动中的用时最少，

∵抛物线的解析式为，令y=0，则，解得：，

∴D点坐标为（2，0），则E点横坐标为2，将x＝2代入lAC：y＝﹣x+3，得y＝1，所以E（2，1）．

即当点E的坐标为（2，1）时，点M在整个运动中用时最少．