Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点D的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C。

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA-QO|的取值范围。

Answer 1

解：（1）点C的坐标为（3，0） ∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6）， ∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-8） 将x=0，y=6代A抛物线的解析式，得a=， ∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2-x+6；
（2）可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为， 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G， 直线BC的解析式为y=-2x+6， 设点P的坐标为（x，-2x+6）， 如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M ∵OP∥AD， ∴∠POM=∠CAD，tan∠POM=tan∠GAD， ∴，即， 解得x=，经检验x=是原方程的解， 此时点P的坐标为， 但此时OM=，GA=，OM<GA， ∵， ∴OP<AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等， ∴直线BC上不存在符合条件的点P；
（3）|QA-QO|的取值范围是0≤x≤4。 说明：如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH|， 当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，|QA-QO|取得最大值4（即为AH的长）； 设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点口与点K重合时，|QA-QO|取得最小值0。