在△ABC中.AB=BC=2.∠ABC=120°.将△ABC绕点B顺时针旋转角α得△A1BC1.A1B交AC于点E.A1C1分别交AC.BC于D.F 两点. .观察并猜想.在旋转过程中.线段EA1与FC有怎样的数量关系?并证明你的结论,.当α=30°时.试判断四边形BC1DA的形状.并说明理由,的情况下.求ED的长. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°<α<90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F 两点。

（1）如图（1），观察并猜想，在旋转过程中，线段EA₁与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图（2），当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长。

解：（1）EA₁=FC；证明：∵AB=BC， ∴∠∠A=∠C，由旋转可知，AB=BC₁，∠A=∠C₁，∠ABE=∠C₁BF， ∴△ABE≌△C1BF， ∴BE=BF，又∵BA₁=BC， ∴BA₁-BE=BC-BF，即EA₁=FC；
（2）四边形BC1DA是菱形；理由： ∵∠A₁=∠ABA₁=30°， ∴A₁C₁∥AB，同理AC∥BC₁， ∴四边形BC₁DA是平行四边形，又∵AB=BC₁， ∴四边形BC₁DA是菱形；
（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，则AG=BC=1，在Rt△AEG中，，由（2）知四边形BC₁DA是菱形， ∴AD=AB=2， ∴。