Question

（1）如果多边形的每一个外角都相等，并且小于45°，那么这个多边形的边数最小是几？
（2）已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．
（3）多边形的内角和与某一个外角的度数的总和为1350°，求该多边形的边数．

Answer 1

分析：（1）因为每一个外角都相等，并且小于45°，所以它的内角都大于或等于135°，根据多边形的内角和计算方法求得每一个内角的度数，建立不等式解答即可；
（2）多边形的边数为n，从一个顶点出发的对角线条数为n-2，建立方程求得问题即可；
（3）根据多边形的内角和公式可知180×7=1260＜1350＜180×8=1440，所以一个外角只能为1350-1260=90，由此得出多边形的边数为7+2=9求得问题．

解答：解：（1）因为外角都小于45°，所以它的内角都大于或等于135°．
设这个多边形的边数为n，
则180×（n-2）≥135n
解得n≥8．
所以这个多边形的边数最小是8．

（2）设这个多边形的边数为n，
则n=2（n-3）
n=6．

（3）设这个多边形的边数为n，
180×（n-2）=1350-

360

n

180×7=1260＜1350＜180×8=1440，
所以一个外角只能为1350-1260=90，由此得出多边形的边数为7+2=9．

点评：此题考查多边形的内角和计算方法：180°×（n-2）；以及从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数，多边形的外角和为360°．