Question

如图，正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上的一点，连接FE并延长与CD的延长线相交于点G，作EH⊥FG交BC的延长线于点H．
（1）若BC=8，BF=5，求线段FG的长；
（2）求证：EH=2EG．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）求出AF，根据勾股定理求出EF，证△AFE≌△DGE，推出EF=EG，即可求出答案；
（2）过E作EM⊥BH于M，过G作GN⊥BA交BA的延长线于点N，证△NFG≌△MHE，推出EH=FG=2EG即可．

解答：（1）解：∵BC=8，BF=5
∴AF=3
∵E是AD的中点，
∴AE=4
在△AFE中：EF=

32+42

=5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠EDG=90°，
∵E为AD中点，
∴AE=ED，
在△AFE和△DGE中

∠A=∠EDG AE=DE ∠AEF=∠DEG

∴△AFE≌△DGE（ASA），
∴EF=EG，
∴FG=2EF=10；

（2）证明：过E作EM⊥BH于M，过G作GN⊥BA交BA的延长线于点N，
∵EH⊥FG，
∴∠HEG=90°，
∴∠H=∠FEM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，
∵EM⊥BC，
∴EM∥CD，
∴∠EGC=∠FEM，
∴∠H=∠EGC，
∵AB∥CD，
∴∠EGC=∠NFG
∴∠H=∠NFG，
在△NFG与△MHE中，

∠H=∠NFG ∠N=∠EMH NG=EM

∴△NFG≌△MHE（AAS），
∴EH=FG=2EG．

点评：本题考查了正方形，全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．