题目内容

在平面直角坐标系xOy中，正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂B₁、A₃B₃C₃B₂，…，按图中所示的方式放置．点A₁、A₂、A₃，…和B₁、B₂、B₃，…分别在直线y=kx+b和x轴上．已知C₁（1，-1）， $数学公式$ ， $数学公式$ ，则点A₃的坐标是多少？点A_n的坐标又是多少？

解：连接A₁C₁，A₂C₂，A₃C₃，分别交x轴于点E、F、G，
∵正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂B₁、A₃B₃C₃B₂，
∴A₁与C₁关于x轴对称，A₂与C₂关于x轴对称，A₃与C₃关于x轴对称，
∵C₁（1，-1），C₂（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
∴A₁（1，1），即（5×（ $\text{[math]}$ ）^1-1-4，（ $\text{[math]}$ ）^1-1），A₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），即（5×（ $\text{[math]}$ ）^2-1-4，（ $\text{[math]}$ ）^2-1），
∴OB₁=2OE=2，OB₂=OB₁+B₁F=2+2×（ $\text{[math]}$ -2）=5，
将A₁与A₂的坐标代入y=kx+b中得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴直线解析式为y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
设B₂G=A₃G=b，则有A₃坐标为（5+b，b），
代入直线解析式得：b= $\text{[math]}$ （5+b）+ $\text{[math]}$ ，
解得：b= $\text{[math]}$ ，
∴A₃坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），即（5×（ $\text{[math]}$ ）^3-1-4，（ $\text{[math]}$ ）^3-1），
依此类推A_n（5×（ $\text{[math]}$ ）^n-1-4，（ $\text{[math]}$ ）^n-1）．
故点A₃的坐标是：（ $\text{[math]}$ ）；点A_n的坐标是：（5×（ $\text{[math]}$ ）^n-1-4，（ $\text{[math]}$ ）^n-1）．
分析：根据正方形的轴对称性，由C₁、C₂的坐标可求A₁、A₂的坐标，将A₁、A₂的坐标代入y=kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出OB₁，OB₂的长，设B₂G=A₃G=b，表示出A₃的坐标，代入直线方程中列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出A₃的坐标，依此类推寻找规律，即可求出A_n的坐标．
点评：此题考查了一次函数的性质，正方形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式，是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，灵活运用正方形的性质是解本题的关键．