Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，线段AD是BC边上的中线．
（1）如图（Ⅰ），将△ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE，连接AF．求证：四边形ADEF是等腰梯形；
（2）如图（Ⅱ），在（1）的条件下，再将△FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜90°）连接AF、DE．
①当AC⊥CF时，求旋转角α的度数；②当α=60°时，请判断四边形ADEF的形状，并给予证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）得出四边形ADCF是平行四边形，推出AF∥DC，即AF∥DE，求出∠ACD=60°，AD=DC，得出△ADC是等边三角形，推出△FCE是等边三角形，得出AD=FE即可；
（2）①求出∠1=60°，∠ACF=90°，相减即可；②推出CA=CE=CD=CF，求出∠ACF，求出∠ACE=180°，推出A、C、E三点共线，D、C、F三点共线，求出AE=DF，即可推出答案．
解答：（1）证明：∵△ADC沿直线BC平移得到△FCE，
∴AD∥FC，且AD=FC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF∥DC，即AF∥DE，
∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACD=60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD=DC，
∴△ADC是等边三角形，
∵△ADC≌△FCE，
∴△FCE是等边三角形，
∴AD=FE，
∵AF≠DE，
∴四边形ADEF是等腰梯形．

（2）①解：由（1）可知∠1=60°，
当AC⊥CF时，∠2=90°-60°=30°，
∴旋转角α的度数为30°．

②解：四边形ADEF为矩形，
理由是：由（1）可知△ADC和△FCE是全等正三角形，
∴CA=CE=CD=CF，
当α=60°时，∠ACF=60°+60°=120°，
∴∠ACE=120°+60°=180°，
∴A、C、E三点共线，同理：D、C、F三点共线，
∴AE=DF，
∴四边形ADEF为矩形．
点评：本题考查的知识点是等腰梯形的判定，矩形的判定，平移的性质，旋转的旋转，等边三角形的性质和判定等，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，但有一定的难度．