Question

如图1，四边形ABCD是正方形，G在BC的延长线上，点E是边BC上的任意一点（不与B、C重合），∠AEF=90°，且AE=EF，连接CF．
（1）求证：∠FCG=45°；
（2）如图2，当四边形ABCD是矩形，且AB=2AD时，点E是边BC上的任意一点（不与B、C重合），∠AEF=90°，且AE=2EF，连接CF，求tan∠FCG的值．

Answer 1

分析：（1）连接FH，证出△ABE≌△EHF，得到BE=HF，再根据正四边形的性质得到BC=AB=EH，从而计算出EH-EC=BC-EC，即BE=CH，故CH=HF，再根据∠CHF=90°，求出∠FCG=45°；
（2）作FI⊥EG与I，证出△ABE∽△EIF，得到EI=AD=BC，求出tan∠FCG的值．

解答：解：作FH⊥CG与H．
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠EAB，
又∵∠B=∠EHF，
且AE=EF，
∴△ABE≌△EHF，
∴BE=HF，
BC=AB=EH，
∴EH-EC=BC-EC，
∴BE=CH，
∴CH=HF．
∴∠FCH=∠CFH=

180°-90°

2

=45°；

（2）作FI⊥EG与I．
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEI=90°，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠FEI=∠EAB，
又∵∠B=∠EIF，
∴△ABE∽△EIF，
∴

EI

AB

=

EF

AE

=

1

2

，
即EI=

1

2

AB，
故EI=AD=BC，
∴BE=CI，
∴tan∠FCG=

FI

IC

=

FI

BE

=

FE

AB

=

1

2

．

点评：此题考查了全等三角形与相似三角形的性质，巧妙运用正方形和矩形的性质，证明三角形全等或相似，是解题的关键．