题目内容
求自然数n，使Sn=9+17+25+…+（8n+1）=4n2+5n为完全平方数．分析：先将4n2+5n写成n2（4+
）的形式，根据完全平方式的特点，可知（4+
）必定也是完全平方数，先求出n的取值范围，从而确定自然数n的值．
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| n |
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| n |
解答：解：4n2+5n=n2（4+
）=p2．
若为完全平方数，则（4+
）必定也是完全平方数，
因为n是自然数，所以此时n若大于5，则不能使原式为整数，也谈不上完全平方数，
所以0＜n≤5 很容易看出n只能等于1才能使之成为完全平方数，
∴n=1时，使Sn=9+17+25+…+（8n+1）=4n2+5n为完全平方数．
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若为完全平方数，则（4+
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| n |
因为n是自然数，所以此时n若大于5，则不能使原式为整数，也谈不上完全平方数，
所以0＜n≤5 很容易看出n只能等于1才能使之成为完全平方数，
∴n=1时，使Sn=9+17+25+…+（8n+1）=4n2+5n为完全平方数．
点评：本题考查完全平方数的知识，难度较大，关键是将4n2+5n表示为n2（4+
）的形式，注意此题的解题思想．
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