Question

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示．已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）过A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．得出△ACO≌△ODB，那么B的横坐标就是A点纵坐标的绝对值，B的纵坐标就是A点的横坐标的绝对值，由此可得出B的坐标．
（2）已知了A，O的坐标，根据（1）求出的B点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据A、B、O点的坐标，求出S_梯形ACDB、S_△AOC、S_△BOD，相减即为△AOB的面积．

解答：解：（1）如图，作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．
则∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°
∴∠OAC=∠BOD．
又∵AO=BO，
∴△ACO≌△ODB．
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴点B的坐标为（1，3）．

（2）抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为：y=ax²+bx．
将A（-3，1），B（1，3），O（0，0）代入y=ax²+bx，得

9a-3b=1 a+b=3

，
解得

a= 5 6 b= 13 6

．
故所求抛物线的解析式为y=

5

6

x²+

13

6

x．

（3）S_△AOB=S_梯形ACDB-S_△AOC-S_△BOD
=

1

2

×（1+3）×（1+3）-

1

2

×3×1-

1

2

×1×3
=8-

3

2

-

3

2

=8-3
=5．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定以及用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识点，此题难度不大应熟练掌握．