Question

（2012•杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x²+x-1）的图象交于点A（1，k）和点B（-1，-k）．
（1）当k=-2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）当k=-2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y=

m

x

，利用待定系数法即可求得答案；
（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函数y=k（x²+x-1）的对称轴为x=-

1

2

，可得x＜-

1

2

时，才能使得y随着x的增大而增大；
（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（-

1

2

，-

5

4

k），A（1，k），即可得

1 4 + 25 16 k2

=

1+k2

，继而求得答案．

解答：解：（1）当k=-2时，A（1，-2），
∵A在反比例函数图象上，
∴设反比例函数的解析式为：y=

m

x

，
代入A（1，-2）得：-2=

m

1

，
解得：m=-2，
∴反比例函数的解析式为：y=-

2

x

；

（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
∵二次函数y=k（x²+x-1）=k（x+

1

2

）²-

5

4

k，对称轴为：直线x=-

1

2

，
要使二次函数y=k（x²+x-1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，
即x≤-

1

2

时，才能使得y随着x的增大而增大，
∴综上所述，k＜0且x≤-

1

2

；

（3）由（2）可得：Q（-

1

2

，-

5

4

k），
∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）
∴原点O平分AB，
∴OQ=OA=OB，
作AD⊥OC，QC⊥OC，
∴OQ=

CQ2+OC2

=

1 4 + 25 16 k2

，
∵OA=

AD2+OD2

=

1+k2

，
∴

1 4 + 25 16 k2

=

1+k2

，
解得：k=±

2

3

3

．

点评：此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应用．