Question

（本题满分12分）
设抛物线与X轴交于两不同的点(点A在点B的左边)，与y轴的交点为点C(0,-2)，且∠ACB=90⁰．

【小题1】（1）求m的值和该抛物线的解析式；
【小题2】（2）若点D为该抛物线上的一点，且横坐标为1，点E为过A点的直线y=x+1与该抛物线的另一交点.在X轴上是否存在点P，使得以P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【小题3】（3）连结AC、BC，矩形FGHQ的一边FG在线段AB上，顶点H、Q分别在线段AC、BC上，若设F点坐标为（t，0），矩形FGHQ的面积为S，当S取最大值时，连接FH并延长至点M，使HM=k·FH，若点M不在该抛物线上，求k的取值范围．

Answer 1

【小题1】①∵∠ACB=90⁰，
∴OC⊥AB，可得OC²=OA·OB，OB=4，B（4，0），
设抛物线为：y=a（x+1）（x-4），点C在抛物线上，
可得a=，∴y=
【小题2】②由题意可得D（1，-3），设AE与Y轴交于点N，
可得A（-1，0），N（0，1），∴OA=ON，∠EAB =45⁰，
过D作DR⊥X轴于R，∴DR=BR=3，∠DBO =45⁰，
∴∠DBO=∠EAB，由y=x+1和y=可求得
E（6，7），且AE=7，AB=5，BD=3，
设P点为（x_p，0），要使△BDP∽△ABE，需要满足（1）或（2）．
若满足（1），则有，x_p =．若满足（2），则有，x_p =．
∴存在点P，使得以P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，P点为（，0），（，0）
【小题3】③由题意可求得：AC：y= -2x-2，BC：y=x-2，可得Q（t，t-2），把y=t -2代入y= -2x-2中，
得x=，而0＜t＜4，FG=，S=·（）=当t=2时，S最大．
此时F（2，0），H（-），FH=，直线FH为y=．由=，得x=（舍去了正值），设FH与抛物线交于点I，过I作IJ⊥X轴于J，所以
，由于M点不在抛物线上，则k＞0，且k≠．

解析