Question

已知：抛物线经过坐标原点。
（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；
（2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标；
（3）过点A作AC∥BP交y轴于点C，求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标。

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过坐标原点， ∴k2+k=0， 解得：k1=0，k2=-1， ∵k≠0 ∴k=-1 ∴， ∴ （2）令y=0，得， 解得：x1=0，x2=， ∴， A关于y轴的对称点C的坐标是， 联结A′B，直线A′B与y轴的交点即为所求点P， 可求得直线的解析式：， ∴P（0，2）； （3）到直线AP、AC、CP距离相等的点有四个， 如图，由勾股定理得PC=PA=AC=4，所以△PAC为等边三角形， 易证x轴所在直线平分∠PAC，BP是△PAC的一个外角的平分线,作∠PCA的平分线，交x轴于点M1，交过A点的平行线于y轴的直线于点M2，作△PAC的∠PCA相邻外角的平分线，交AM2于点M3，反向延长CM3交x轴于点M4，可得点M1、M2、M3、M4就是到直线AP、AC、CP距离相等的点，可证△APM2、△ACM3、△PCM4均为等边三角形,可求得： ①，所以点M1的坐标为； ②，所以点M2的坐标为； ③点M3与点M2关于x轴对称，所以点M3的坐标为； ④点M4与点A关于y轴对称，所以点M4的坐标为， 综上所述，到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标分别为，，，。