Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若AB=5，BC=4，OA=1，求线段DE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）线段DE的长为．

【解析】

（1）连接OD，如图，根据线段垂直平分线的性质得ED＝EB，则∠EDB＝∠B，再利用等量代换计算出∠ODE＝90°，则OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）作OH⊥AD于H，则AH＝DH，利用∠A的正弦可计算出OH＝，则AH＝，AD＝2AH＝，所以BF＝，然后利用∠B的余弦计算出EB，从而得到ED的长．

（1）连接OD，如图，

∵EF垂直平分BD，

∴ED=EB，

∴∠EDB=∠B，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ODA，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠ODA+∠EDB=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴直线DE是⊙O的切线；

（2）作OH⊥AD于H，如图，则AH=DH，

在Rt△OAB中，sinA==，

在Rt△OAH中，sinA==，

∴OH=，

∴AH==，

∴AD=2AH=，

∴BD=5﹣=，

∴BF=BD=，

在Rt△ABC中，cosB=，

在Rt△BEF中，cosB==，

∴BE=×=，

∴线段DE的长为．