Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD=DC．分别延长BA，CD，交点为E．作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE=AO，BC=6，则CF的长为________．

Answer 1

分析：连接AC，BD，OD，由圆周角定理可知∠BCA=∠BDA=90°，由圆内接四边形的性质可得∠BCF=∠BAD，根据相似三角形的判定定理可得Rt△BCF∽Rt△BAD，则有=，即=，又因为OD是⊙O的半径，AD=CD，根据垂径定理的推论得OD垂直平分AC，则OD∥BC，=，并且有△EOD∽△EBC，则==，=，而AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6，可得到半径OD=4，CE=DE，又∠EDA=EBC，∠E公共可得到△AED∽△CEB，则DE•EC=AE•BE，即有DE•DE=4×12，可求出DE=4，则CD=2，则AD=2，然后代入=即可求出CF的长．
解答：解：如图，连接AC，BD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=∠BDA=90°．
∵BF⊥EC，
∴∠BFC=90°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCF=∠BAD，
∴Rt△BCF∽Rt△BAD，
∴=，即=，
∵OD是⊙O的半径，AD=CD，
∴OD垂直平分AC，
∴OD∥BC，
∴=，
∴△EOD∽△EBC，
∴==，=，
而AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6
∴===，=2，
∴OD=4，CE=DE，
又∵∠EDA=EBC，∠E公共，
∴△AED∽△CEB，
∴DE•EC=AE•BE，
∴DE•DE=4×12，
∴DE=4，
∴CD=2，则AD=2，
∴=，
∴CF=．
故答案为．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质以及垂直定理的推论．